Conseils utiles

Convertir des nombres de hexadécimal en décimal

Concepts de base

Système de numération - Ceci est un ensemble de règles pour le nom et l'image des nombres utilisant un ensemble de caractères appelés nombres.

Trois types de systèmes de numération sont utilisés:

· Positionnel - la représentation du nombre dépend de l'ordre dans lequel les nombres sont écrits.

· Non positionnel - la représentation du numéro ne dépend pas de l'ordre d'enregistrement des numéros

· Mixte - il n'y a pas de concept de «fondation»: soit il y a plusieurs raisons, soit calculé

Dans non positionnel systèmes de poids (c’est-à-dire la contribution qu’il apporte à la valeur d’un nombre) indépendant de sa positiondans le numéro d'enregistrement.

Dans positionnel systèmes numérotation le poids de chaque chiffre varie en fonction de sa position (positions) dans une séquence de chiffres représentant un nombre. Par exemple, parmi 757,7, les sept premiers correspondent à 7 cents, le second à 7 unités et le troisième à 7 dixièmes d'une unité.

La notation même du nombre 757.7 signifie une notation abrégée de l'expression

700 + 50 + 7 + 0,7 = 7∙10 2 + 5∙10 1 + 7∙10 0 + 7∙10 -1 = 757,7.

Tout système de numéro de position est caractérisé par son base.

La base du système de numération de position Est-ce le nombre de caractères ou de symboles différents utilisés pour représenter des nombres dans un système donné?

Pour la base du système, vous pouvez prendre n’importe quel nombre naturel - deux, trois, quatre, etc. Donc d'innombrables systèmes de positionnement possibles: binaire, ternaire, quaternaire, etc. Écrire des nombres dans chacun des systèmes de numérotation avec la base q signifie expression de notation abrégée

unje - chiffres du système de numération, n et m - le nombre de chiffres entiers et fractionnaires, respectivement.

Tableau 1. Équivalents de nombres dans divers systèmes de numérotation

Systèmes de numération
DécimalBinaireOctalHexadécimal
Un
B
C
D
E
F

Conversion de numéros d'un système de numérotation à un autre

Conversion d'un entier d'un système décimal à un autre système de nombres par positions

Lors de la traduction de l'ensemble décimal numéros au système de base q il doit être cohérent partager sur q jusqu'à ce qu'il y ait un reste inférieur ou égal à q - 1. Nombre dans le système de base q est écrit comme une séquence de résidus de division, écrite dans l’ordre inverse, en commençant par le dernier.

b. octal:

c. en hexadécimal:

Convertir la décimale correcte en un autre système de numéro de position

Lors de la traduction décimal dans le système de numérotation avec la base q vous avez d'abord besoin de la fraction elle-même, puis des parties fractionnaires de tous les travaux ultérieurs en série se multiplier sur qen séparant après chaque multiplication la totalité du produit. Un nombre dans le nouveau système de numération est écrit comme une séquence de parties entières obtenues d'une œuvre.

La multiplication est effectuée jusqu'à ce que la fraction du produit devienne égale à zéro. Cela signifie qu'une traduction précise a été faite. Sinon, la traduction est effectuée avec la précision spécifiée.

b. octal:

c. en hexadécimal:

Conversion d’un nombre binaire (octal, hexadécimal) en décimal.

Lors de la traduction d'un numéro de binaire (octal, hexadécimal) système en décimal ce nombre doit être représenté comme la somme des degrés de la base de son système de numération.

1011012=1∙2 5 +0∙2 4 +1∙2 3 +1∙2 2 +0∙2 1 +1∙2 0 =32+0+8+4+0+1=4410

110111012=1∙2 7 +1∙2 6 +0∙2 5 +1∙2 4 +1∙2 3 +1∙2 2 +0∙2 1 +1∙2 0 =128+64+0+16+8+4+0+1=22110

0,11012=1∙2 -1 +1∙2 -2 +0∙2 -3 +1∙2 -4 =0,5+0,25+0+0,0625=0,812510

b. d'octal

71458=7∙8 3 +1∙8 2 +4∙8 1 +5∙8 0 =7∙512+64+32+5=368510

c. hors d'hex

DAEF16=13∙16 3 +10∙16 2 +14∙16 1 +15∙16 0 =13∙4096+10∙256+14∙16+15=5604710

0, D8D16=13∙16 -1 +8∙16 -2 +13∙16 -3 =13∙0,062500+8∙0,003906+13∙0,000244=0,846920010=0,8469210

Conversion de nombres décimaux en nombres binaires

Pour traduire les nombres du système décimal en binaire, utilisez ce que l'on appelle "l'algorithme de substitution", consistant en la séquence d'actions suivante:

Diviser le nombre décimal Unsur2. PrivéQrappelez-vous pour la prochaine étape, et le resteunécrire commejuniorbit d'un nombre binaire.

Si privé qpas égal0, prenez-le pour un nouveau dividende et répétez la procédure décrite à l’étape 1. Chaque nouveau solde (0ou1) est écrit en bits d'un nombre binaire dans le sens dejuniorpeu àsenior.

L'algorithme continue jusqu'à ce que, à la suite des étapes 1 et 2, le quotient Q=0et le resteun=1.

Par exemple, vous devez traduire un nombre décimal. 247 en binaire. Conformément à l'algorithme ci-dessus, on obtient:

Quels sont les systèmes de numération

En fait, il y a d'innombrables art. avec Par exemple, la quantité positional s. avec., qui incluent des systèmes à base naturelle, est infinie. Car, quel que soit le nombre, le nombre peut toujours être exprimé dans un système de numération donné. L'essentiel est qu'il y ait suffisamment de caractères pour l'écrire. Par exemple, pour écrire des nombres dans un système de numérotation avec une base de 666, vous avez besoin d’un alphabet comportant exactement 666 caractères, lettres ou, si vous le souhaitez, des chiffres.

Ainsi, il est théoriquement possible d'utiliser des positions s. avec avec n'importe quelle base naturelle. Mais dans la pratique, nous n’en utilisons qu’un petit nombre. Ceux-ci comprennent: binaire, ternaire, octal, décimal, duodécimal, hexadécimal et six décimales avec avec

Le binaire est utilisé en programmation, en informatique et en mathématiques discrètes, décimal dans tous les domaines de la vie où il est nécessaire de compter et de mesurer, l'hexadécimal est également utilisé en informatique et en programmation (particulièrement au bas niveau, où les langages assembleurs sont utilisés), ainsi que dans la documentation informatique, six décimales - pour compter et mesurer le temps et les angles (en particulier les coordonnées géographiques).

En plus de ceux mentionnés, il existe d'autres systèmes qui ne sont pas liés au positionnement. C'est mixte et non positionnel. pp., que nous ne considérerons pas ici.

Comment convertir en décimal en hexadécimal

Ainsi, comme on l'a déjà mentionné, tout nombre dans un système de positions de base N peut être représenté par une séquence de caractères d'un ensemble composé de N chiffres et de lettres. Dans le système hexadécimal, un tel ensemble sera composé des chiffres de 0 à 9 et des lettres latines A, B, C, D, E, F, 16 caractères au total.

Pour effectuer une conversion décimale en hexadécimale, vous n'avez pas du tout besoin d'une calculatrice si vous souhaitez apprendre à le faire vous-même, manuellement. Alors, soyez patient et ... partez!

Prenez n'importe quel nombre X écrit en décimales s. pp., la partie entière de [X] est égale à P, et la partie fractionnaire est égal à Q. Si X 3 + R2 • N 2 + R1 • N 1 + R0 • N 0 + S1 • N ^ (- 1) + S2 • N ^ (- 2) + S3 • N ^ (- 3) + ... + Sj • N ^ (- j) + ... + Sn • N ^ (- n) = Rk ... Ri ... R2R1R0, S1S2S3 ... Sj ... Sn = X (10).

Dans cette expression, les coefficients N ^ i (i = 0 ... k) et N ^ (- j) (j = 1 ... n) sont appelés coefficients de pondération des chiffres, Ri et Sj sont les chiffres du nombre N-aire, i est le nombre de chiffres dans la partie entière de R , (-j) - le numéro de décharge dans la partie fractionnaire S du nombre N-aire Y (R = [Y], S =).

À droite de cette expression, le résultat de l’addition de tous les poids multipliés par les chiffres des chiffres correspondants du nombre N décimal Y, qui est présenté sous la forme d’un nombre X à 10 décimales.

En utilisant ce théorème, nous pouvons facilement convertir des nombres hexadécimaux en nombres décimaux. Pour ce faire, remplacez simplement N = 16 dans la formule ci-dessus. En conséquence, nous obtenons l'algorithme suivant.

Algorithme 3

Méthode de conversion d'un système hexadécimal en un système à 10 décimales

  1. Soit un nombre hexadécimal Y (16), qui a k ​​+ 1 chiffres dans la partie entière et n chiffres dans la partie fractionnaire. Les nombres des chiffres de la partie entière prennent des valeurs de 0 à k. Multipliez chacun de ses chiffres, en commençant par le premier qui précède la virgule, par 16 à une puissance égale au numéro de ce chiffre. Pliez les œuvres résultantes. Le résultat sera la partie entière Y en décimal - P = [X].
  2. Maintenant, multipliez chaque chiffre du nombre Y (16), en commençant par le premier chiffre après la virgule, par 16 à une puissance égale au chiffre du chiffre négatif de ce chiffre. Les nombres de fractions dans la partie fractionnaire vont de -1 à -n. Pliez les œuvres résultantes. Le résultat sera une fraction de Y sous forme décimale - Q =.
  3. Ajoutez les parties entières et fractionnaires de Y en décimal. Vous obtiendrez le résultat - nombre décimal X (10) = Y (16).

1. Traduire 1237 (10) dans un système avec base 16.

Solution En divisant séquentiellement 1237 par 16, nous obtenons les résidus suivants: 5, 13 et 4 (voir l'algorithme 1). Pour écrire 1237 (10) en hexadécimal, nous écrivons les résidus indiqués dans l'ordre inverse, en remplaçant 13 par la lettre D. Nous obtenons: 1237 (10) = 4D5 (16). Pour nous assurer que la traduction est correcte, nous allons vérifier (voir algorithme 3): 4D5 (16) = 4 • 16² + 13 • 16¹ + 5 = 1024 + 208 + 5 = 1237 (10).

2. Traduire 0,07080078125 (10) en hexadécimal.

La solution. En multipliant successivement 0.07080078125 par 16, en éliminant les parties entières des œuvres résultantes, nous obtenons les séries suivantes: 1, 2, 2 (voir l'algorithme 2). Pour écrire 0.07080078125 (10) sous forme hexadécimale, nous écrivons ces nombres dans l’ordre direct. Nous obtenons: 0,07080078125 (10)=0,122 (16). Pour nous assurer que la traduction est correcte, nous allons vérifier (voir algorithme 3): 0,122 (16) = 1 • (1 / 16¹) + 2 • (1 / 16²) + 2 • (1 / 16³) = 0,0625 + 0, 0078125 + 0.00048828125 = 0,07080078125 (10).

Dans la vidéo, vous apprendrez à convertir correctement un système hexadécimal en binaire.